Chapitre III. Séries de nombres réels
converge, alors les quatre séries
+∞
i,k=1
a i,k ,
+∞
i=1
+∞
k=1
a i,k
,
+∞
k=1
+∞
i=1
a i,k
,
+∞
n=1
(a n,1 + a n−1,2 + a n−2,3 + . . . + a 1,n )
convergent vers la même somme.
III.7.24. Calculer
+∞
n,k=0
1
n!k!(n + k + 1)
.
III.7.25. Trouver
+∞
n,k=1
1
nk(n + k + 2)
.
III.7.26. Montrer que
+∞
n,k=0
n!k!
(n + k + 2)!
=
π 2
6
.
III.7.27. Pour 0 < x < 1, on considère le tableau infini
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x
−x 2
x 2
−x 3
x 3
. . .
x(1 − x) −x 2 1 − x 2
x 2 1 − x 2 −x 3 1 − x 3
x 3 (1 − x 3 ) . . .
x (1 − x)
2
−x 2 1 − x 2 2 x 2
1 − x 2 2 −x 3
1 − x 3 2 x 3 1 − x 3 2 . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Prouver qu’une seule des séries itérées associées à ce tableau converge (pas absolument).
III.7.28. Étudier la convergence des séries doubles suivantes :
(a)
+∞
i,k=0
x
i y
k , où |x| , |y| < 1,
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