Énoncés
III.7.19. Prouver que si la série double
+∞
i,k=1
a i,k est absolument convergente,
alors tous ses ordonnancements
+∞
n=1
c n convergent et
+∞
i,k=1
a i,k =
+∞
n=1
c n .
III.7.20. Prouver qu’une série double absolument convergente est convergente.
III.7.21. La série itérée
+∞
i=1
+∞
k=1
a i,k
est absolument convergente si
+∞
i=1
+∞
k=1
|a i,k |
converge et de même pour
+∞
k=1
+∞
i=1
a i,k
. Prouver qu’une série
itérée absolument convergente est convergente.
III.7.22. Prouver que si la série double
+∞
i,k=1
a i,k est absolument convergente,
alors les deux séries itérées
+∞
i=1
+∞
k=1
a i,k
et
+∞
k=1
+∞
i=1
a i,k
sont absolument convergentes et
+∞
i,k=1
a i,k =
+∞
i=1
+∞
k=1
a i,k
=
+∞
k=1
+∞
i=1
a i,k
.
III.7.23. Prouver que si une des quatre séries
+∞
i,k=1
|a i,k | ,
+∞
i=1
+∞
k=1
|a i,k |
,
+∞
k=1
+∞
i=1
|a i,k |
,
+∞
n=1
(|a n,1 | + |a n−1,2 | + |a n−2,3 | + . . . + |a 1,n |)
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