Chapitre III. Séries de nombres réels
III.7.16. Soit
+∞
k=1
a n k un réarrangement d’une série semi-convergente
+∞
n=1
a n .
Prouver que si {n k − k} est une suite bornée, alors
+∞
k=1
a n k =
+∞
n=1
a n . Que se
passe-t-il si la suite {n k − k} n’est pas bornée ?
III.7.17. Soit
+∞
k=1
a n k un réarrangement d’une série semi-convergente
+∞
n=1
a n .
Prouver que
+∞
k=1
a n k =
+∞
n=1
a n si et seulement s’il existe N ∈ N ∗ tel que tout
ensemble {n k : 1 k m} soit l’union d’au plus N blocs disjoints d’entiers
consécutifs.
III.7.18. On associe à un tableau infini de réels {a i,k }, i ∈ N ∗ , k ∈ N ∗ , une série
double
+∞
i,k=1
a i,k . On dit que la série double converge vers S ∈ R si, étant donné
ε > 0, il existe n 0 ∈ N ∗ tel que
|S m,n − S| < ε pour m, n > n 0 ,
où
S m,n =
m
i=1
n
k=1
a i,k .
On écrit alors
S = lim
m,n→+∞
S m,n =
+∞
i,k=1
a i,k .
On dit que
+∞
i,k=1
a i,k est absolument convergente si
+∞
i,k=1
|a i,k | converge. On note
que les termes d’un tableau infini (a i,k ) i,k∈N ∗ peuvent être ordonnés pour former
une suite {c n }. La série correspondante
+∞
n=1
c n est appelée un ordonnancement
de
+∞
i,k=1
a i,k en une série simple. Prouver que si un ordonnancement d’une série
double converge absolument, alors la série double converge (absolument) vers la
même somme.
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