Énoncés
III.7.10. Soit f : R ∗
+ −→ R ∗
+ une fonction décroissante et tendant vers 0 lorsque
x tend vers +∞ telle que lim
n→+∞
nf (n) = g, g ∈ R ∗
+ . On note S la somme de la
série
+∞
n=1
(−1)
n−1 f (n). Étant donné l, trouver un réarrangement de cette série qui
converge vers S + l.
III.7.11. Réarranger les termes de
+∞
n=1
(−1)
n−1 1
n p (p ∈ ]0 , 1[) pour augmenter
sa somme de l.
III.7.12. Pour α > 0, trouver un réarrangement de
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
dont la somme
est égale à ln 2 +
1
2 ln α en utilisant III.7.10.
III.7.13. Est-il possible d’accélérer par un réarrangement la divergence d’une
série divergente dont les termes sont positifs et forment une suite décroissante ?
III.7.14. Soit
+∞
n=1
a n une série divergente à termes positifs tels que lim
n→+∞
a n = 0.
Démontrer qu’il est possible de ralentir arbitrairement la divergence de cette série par un réarrangement, autrement dit, que pour toute suite {Q n } strictement
croissante vérifiant 0 < Q 1 et lim
n→+∞
Q n = +∞, il existe un réarrangement
+∞
k=1
a n k
tel que
a n 1 + a n 2 + . . . + a nm Q m pour m ∈ N
∗ .
III.7.15. Soit {r n } et {s n } deux suites strictement croissantes d’entiers strictement positifs n’ayant pas de termes communs et telles que tout élément de N ∗
se trouve dans l’une des deux suites. Les deux sous-séries
+∞
n=1
a rn et
+∞
n=1
a sn sont
appelées des sous-séries complémentaires de
+∞
n=1
a n . On dit que le réarrangement
déplace les deux sous-séries complémentaires l’une par rapport à l’autre si, pour
tout couple d’entiers m et n tel que m < n, le terme a rm précède le terme a rn et le
terme a sm précède le terme a sn . Prouver que l’on peut réarranger les termes d’une
série
+∞
n=1
a n semi-convergente par un déplacement des deux sous-séries formées respectivement des termes positifs et négatifs pour donner une série semi-convergente
dont la somme est égale à un réel donné.
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