Chapitre III. Séries de nombres réels
III.7.3. On réarrange les termes de
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
de sorte que des blocs de α
termes positifs alternent avec des blocs de β termes négatifs, soit
1 +
1
3
+ . . . +
1
2α − 1
−
1
2
−
1
4
− . . . −
1
2β
+
1
2α + 1
+
1
2α + 3
+ . . . +
1
4α − 1
−
1
2β + 2
−
1
2β + 4
− . . . −
1
4β
+ . . .
Trouver la somme de la série réarrangée.
III.7.4. Montrer que
1 −
1
2
−
1
4
−
1
6
−
1
8
+
1
3
−
1
10
−
1
12
−
1
14
−
1
16
+
1
5
− . . . = 0.
III.7.5. Trouver un réarrangement de la série
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
qui double la valeur
de sa somme.
III.7.6. Réarranger les termes de
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
pour obtenir une série divergente.
III.7.7. Étudier la convergence de la série
1 +
1
√ 3
−
1
√ 2
+
1
√
5
+
1
√ 7
−
1
√ 4
+ . . .
obtenue en prenant alternativement deux termes positifs et un terme négatif de
la série
+∞
n=1
(−1)
n−1
√
n
.
III.7.8. Prouver que tout réarrangement d’une série absolument convergente est
convergent et a la même somme que la série initiale.
III.7.9. Soit f : R ∗
+ −→ R ∗
+ une fonction décroissante tendant vers 0 lorsque x
tend vers +∞ telle que la suite {nf (n)} tende vers +∞. On note S la somme de
la série
+∞
n=1
(−1)
n−1 f (n). Étant donné l, trouver un réarrangement de cette série
qui converge vers S + l.
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