Énoncés
III.6.13. Soit {a n } et {b n } deux suites positives, décroissantes et convergentes
vers 0. Démontrer que le produit de Cauchy des séries
+∞
n=0
(−1)
n a n et
+∞
n=0
(−1)
n b n
converge si et seulement si
lim
n→+∞
a n (b 0 + b 1 + . . . + b n ) = 0 et
lim
n→+∞
b n (a 0 + a 1 + . . . + a n ) = 0.
III.6.14. Montrer que le produit de Cauchy de
+∞
n=1
(−1)
n
n α
et
+∞
n=1
(−1)
n
n β , α,β > 0,
converge si et seulement si α + β > 1.
III.6.15. Soit {a n } et {b n } deux suites positives, décroissantes et convergentes
vers 0. Prouver que la convergence de la série
+∞
n=0
a n b n est une condition suffisante
pour la convergence du produit de Cauchy des séries
+∞
n=0
(−1)
n a n et
+∞
n=0
(−1)
n b n
et que la convergence de
+∞
n=0
(a n b n )
1+α pour tout α > 0 est une condition nécessaire à la convergence de leur produit de Cauchy.
III.7. Réarrangement de séries. Séries doubles
III.7.1. Soit {m k } une suite strictement croissante d’entiers strictement positifs.
On pose
b 1 = a 1 + a 2 + . . . + a m 1 , b 2 = a m 1 +1 + a m 1 +2 + . . . + a m 2 , . . .
Prouver que si la série
+∞
n=1
a n converge, alors la série
+∞
n=1
b n converge aussi et les
deux séries ont la même somme.
III.7.2. On considère la série
1 −
1
2
−
1
4
+
1
3
−
1
6
−
1
8
+
1
5
− . . . ,
obtenue en réarrangeant les termes de la série
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
de sorte que chaque
terme positif soit suivi de deux termes négatifs. Trouver la somme de cette série.
215