Chapitre III. Séries de nombres réels
III.6.6. Vérifier la proposition suivante pour a > 0 et |x| < 1 :
1
a
+
+∞
n=1
(2n − 1)!!
(2n)!!
·
x n
a + 2n
×
1 +
+∞
n=1
(2n − 1)!!
(2n)!!
x
n
=
1
a
1 +
+∞
n=1
(a + 1)(a + 3) . . . (a + 2n − 1)
(a + 2)(a + 4) . . . (a + 2n)
x
n
.
III.6.7. Démontrer le théorème d’Abel suivant.
Si le produit de Cauchy
+∞
n=0
c n de deux séries convergentes
+∞
n=0
a n = A et
+∞
n=0
b n = B converge vers C, alors C = AB.
III.6.8. Prouver que la série
+∞
n=1
(−1)
n−1
2
n + 1
1 +
1
2
+ . . . +
1
n
est le produit de Cauchy de la série
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
par elle-même et trouver sa somme.
III.6.9. Étudier la convergence du produit de Cauchy de la série
+∞
n=1
(−1)
n−1
√
n
par
elle-même.
III.6.10. Prouver que si parmi deux séries strictement positives, une au moins
est divergente, alors leur produit de Cauchy est divergent.
III.6.11. Le produit de Cauchy de deux séries divergentes est-il nécessairement
divergent ?
III.6.12. Prouver que le produit de Cauchy de deux séries convergentes
+∞
n=0
a n
et
+∞
n=0
b n converge si et seulement si
lim
n→+∞
n
k=1
a k (b n + b n−1 + . . . + b n−k+1 ) = 0.
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