Énoncés
III.6.2. Trouver la somme des séries
(a)
+∞
n=1
nx
n−1 , |x| < 1,
(b)
+∞
n=0
c n , où c n =
n
k=0
x
k y
n−k , |x| < 1, |y| < 1,
(c)
+∞
n=1
c n , où c n =
n
k=1
1
k(k + 1)(n − k + 1)!
.
III.6.3. Écrire le produit de Cauchy des séries suivantes et calculer sa somme.
(a)
+∞
n=0
2 n
n!
et
+∞
n=0
1
2 n n!
,
(b)
+∞
n=1
(−1)
n 1
n
et
+∞
n=1
1
3 n ,
(c)
+∞
n=0
(n + 1)x
n
et
+∞
n=0
(−1)
n
(n + 1)x
n .
III.6.4. Soit
+∞
n=0
a n une série convergente. On pose A n = a 0 + a 1 + . . . + a n .
Prouver que la série
+∞
n=0
A n x n converge pour |x| < 1 et
+∞
n=0
a n x
n
= (1 − x)
+∞
n=0
A n x
n .
III.6.5. Trouver le produit de Cauchy de la série
+∞
n=0
(−1)
n x 2n
(n!)
2 , x ∈ R, par
elle-même.
Indication : utiliser l’égalité
n
k=0
n
k
2 =
2n
n
.
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