Chapitre III. Séries de nombres réels
III.5.14. Pour une suite {a n } donnée, prouver que si la série de Dirichlet
+∞
n=1
a n
n x
converge en x = x 0 , elle converge alors pour tout x > x 0 .
III.5.15. Prouver que la convergence de la série de Dirichlet
+∞
n=1
an
n x implique
celle de la série
+∞
n=1
n!a n
x(x + 1) . . . (x + n)
, x /
∈ Z − .
III.5.16. Prouver que si la série
+∞
n=1
a n x n converge pour |x| < 1, alors
+∞
n=1
a n
x n
1−x n converge aussi.
III.5.17. La série convergente
+∞
n=1
a n est-elle absolument convergente si toutes
ses sous-séries de la forme
+∞
n=1
a kl n , k 1, l 2
convergent ?
III.6. Produit de Cauchy de séries
III.6.1. Démontrer le théorème de Mertens.
Si les deux séries
+∞
n=0
a n et
+∞
n=0
b n convergent et une au moins converge
absolument, alors leur produit de Cauchy (c’est-à-dire la série
+∞
n=0
c n , où
c n = a 0 b n + a 1 b n−1 + . . . + a n b 0 ) converge. De plus, si
+∞
n=0
a n = A et
+∞
n=0
b n = B,
alors
+∞
n=0
c n = AB.
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