Énoncés
III.5.8. Pour x > 1, étudier la convergence de la série
+∞
n=1
(−1)
n
n
√ ln x
n
.
III.5.9. Prouver le lemme de Kronecker suivant.
Soit
+∞
n=1
a n une série convergente et {b n } une suite croissante tendant vers +∞.
On a alors
(a)
+∞
k=n
a k
b k
= o
1
b n
,
(b)
n
k=1
a k b k = o (b n ) .
III.5.10. On suppose que la série
+∞
n=1
nc n converge. Démontrer que pour tout
n ∈ N ∗ , la série
+∞
k=0
(k + 1)c n+k converge aussi. Prouver de plus que si t n =
+∞
k=0
(k + 1)c n+k , alors lim
n→+∞
t n = 0.
III.5.11. On suppose que les sommes partielles de la série
+∞
n=1
a n forment une
suite bornée. Prouver que si la série
+∞
n=1
|b n − b n+1 | converge et si lim
n→+∞
b n = 0,
alors la série
+∞
n=1
a n b k
n converge pour tout k ∈ N ∗ .
III.5.12. Prouver que si
+∞
n=1
(b n − b n+1 ) est absolument convergente et si
+∞
n=1
a n
converge, il en est alors de même de la série
+∞
n=1
a n b n .
III.5.13. Prouver, en utilisant le test d’Abel, que la convergence de
+∞
n=1
a n implique celle de la série
+∞
n=1
a n x n pour |x| < 1.
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