Chapitre III. Séries de nombres réels
(b)
+∞
n=1
sin n
n
1 +
1
2
+ . . . +
1
n
,
(c)
+∞
n=2
1
ln
2 n
cos
π
n 2
n + 1
,
(d)
+∞
n=1
sin
nπ
4
n a + sin
nπ
4
, a > 0.
III.5.2. La série
+∞
n=2
sin
n +
1
n
ln ln n
converge-t-elle ?
III.5.3. Pour a ∈ R, étudier la convergence des séries
(a)
+∞
n=1
sin(na) sin(n 2 a)
n
,
(b)
+∞
n=1
sin(na) cos(n 2 a)
n
.
III.5.4. Montrer que la série
+∞
n=1
cos n sin(na)
n
converge pour tout a ∈ R.
III.5.5. Déterminer si la série
+∞
n=1
sin(na)
n
, a ∈ R, est absolument convergente.
III.5.6. Prouver que pour a ∈ R et n ∈ N ∗ ,
n
k=1
sin(ak)
k
< 2
√
π.
III.5.7. Prouver que la série
+∞
n=1
(−1)
n Arctan n
√ n
converge.
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