Énoncés
III.4.36. Dans la série harmonique
+∞
n=1
1
n , on attache le signe « + » à p termes
consécutifs, puis le signe « − » à q termes consécutifs, puis le signe « + » à p
termes consécutifs, etc. Démontrer que la nouvelle série converge si et seulement
si p = q.
III.4.37. Prouver la généralisation suivante du théorème de Toeplitz (voir II.3.1
et II.3.26).
Soit {c n,k : n, k ∈ N ∗ } un tableau de nombres réels. Pour toute suite convergente {a n }, la suite transformée {b n } définie par
b n =
+∞
k=1
c n,k a k , n 1,
converge vers la même limite si et seulement si les trois conditions suivantes sont
vérifiées :
(i) c n,k − −−−− →
n→+∞
0 pour tout k ∈ N ∗ ,
(ii)
+∞
k=1
c n,k = 1,
(iii) il existe C > 0 tel que, pour tout entier n strictement positif,
+∞
k=1
|c n,k | C.
III.5. Les tests de Dirichlet et Abel
III.5.1. En utilisant les tests de Dirichlet et d’Abel (3) , étudier la convergence
des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
(−1)
n sin
2 n
n
,
(3) Test d’Abel : si la série
+∞
n=1
bn converge et si {an} est une suite monotone et bornée, alors
la série
+∞
n=1
anbn converge. Test de Dirichlet : si la suite réelle {an} est monotone et converge
vers 0 et si la suite des sommes partielles de la série
+∞
n=1
bn est bornée (les termes de cette série
peuvent être complexes), alors la série
+∞
n=1
anbn converge. (N.d.T.)
209
III.4.36. Dans la série harmonique
+∞
n=1
1
n , on attache le signe « + » à p termes
consécutifs, puis le signe « − » à q termes consécutifs, puis le signe « + » à p
termes consécutifs, etc. Démontrer que la nouvelle série converge si et seulement
si p = q.
III.4.37. Prouver la généralisation suivante du théorème de Toeplitz (voir II.3.1
et II.3.26).
Soit {c n,k : n, k ∈ N ∗ } un tableau de nombres réels. Pour toute suite convergente {a n }, la suite transformée {b n } définie par
b n =
+∞
k=1
c n,k a k , n 1,
converge vers la même limite si et seulement si les trois conditions suivantes sont
vérifiées :
(i) c n,k − −−−− →
n→+∞
0 pour tout k ∈ N ∗ ,
(ii)
+∞
k=1
c n,k = 1,
(iii) il existe C > 0 tel que, pour tout entier n strictement positif,
+∞
k=1
|c n,k | C.
III.5. Les tests de Dirichlet et Abel
III.5.1. En utilisant les tests de Dirichlet et d’Abel (3) , étudier la convergence
des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
(−1)
n sin
2 n
n
,
(3) Test d’Abel : si la série
+∞
n=1
bn converge et si {an} est une suite monotone et bornée, alors
la série
+∞
n=1
anbn converge. Test de Dirichlet : si la suite réelle {an} est monotone et converge
vers 0 et si la suite des sommes partielles de la série
+∞
n=1
bn est bornée (les termes de cette série
peuvent être complexes), alors la série
+∞
n=1
anbn converge. (N.d.T.)
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