Chapitre III. Séries de nombres réels
III.4.30. Soit k, l des entiers vérifiant k 1, l 2. La série convergente
+∞
n=1
a n
est-elle absolument convergente si toutes les sous-séries de la forme
+∞
n=1
a k+(n−1)l
sont convergentes ?
III.4.31. Donner un exemple de série convergente
+∞
n=1
a n telle que
+∞
n=1
a 3
n diverge.
III.4.32. Existe-t-il une série convergente
+∞
n=1
a n telle que toutes les séries de la
forme
+∞
n=1
a k
n , k étant un entier supérieur ou égal à 2, divergent ?
III.4.33. Soit {a n } une suite strictement positive et décroissante telle que la
série
+∞
n=1
a n diverge. On suppose que la série
+∞
n=1
ε n a n , où ε n est égal à +1 ou −1,
converge. Prouver que
lim
n→+∞
ε 1 + ε 2 + . . . + ε n
n
0 lim
n→+∞
ε 1 + ε 2 + . . . + ε n
n
.
III.4.34. Soit {a n } une suite strictement positive et décroissante telle que la
série
+∞
n=1
ε n a n , où ε n est égal à +1 ou −1, converge. Prouver que
lim
n→+∞
a n (ε 1 + ε 2 + . . . + ε n ) = 0
(voir III.2.35).
III.4.35. Soit
+∞
n=1
b n une série convergente et {p n } une suite croissante telle que
lim
n→+∞
p n = +∞ et
+∞
n=1
1
pn = +∞. Prouver que
lim
n→+∞
p 1 b 1 + p 2 b 2 + . . . + p n b n
n
0 lim
n→+∞
p 1 b 1 + p 2 b 2 + . . . + p n b n
n
.
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