Énoncés
III.4.24. Soit {a n } une suite strictement positive telle qu’il existe α ∈ R, ε > 0
et une suite bornée {β n } vérifiant
a n
a n+1
= 1 +
α
n
+
β n
n 1+ε .
Prouver que la série
+∞
n=1
(−1)
n a n converge pour α > 0 et diverge pour α 0.
III.4.25. Étudier la convergence de la série
+∞
n=1
(−1)
n n!e n
n n+p , p ∈ R.
III.4.26. Soit
+∞
n=1
a n une série convergente et {p n } une suite strictement positive, croissante et tendant vers +∞. Montrer que
lim
n→+∞
a 1 p 1 + a 2 p 2 + . . . + a n p n
p n
= 0.
III.4.27. Soit {a n } une suite strictement positive, décroissante et tendant vers 0.
Prouver que si la série
+∞
n=1
a n b n converge, alors
lim
n→+∞
a n (b 1 + b 2 + . . . + b n ) = 0.
III.4.28. Soit α ∈ R ∗
+ . Prouver que si la série
+∞
n=1
an
n α converge, alors
lim
n→+∞
a 1 + a 2 + . . . + a n
n α
= 0.
III.4.29. Soit {k n } une suite strictement croissante d’entiers naturels. La série
+∞
n=1
a kn est appelée une sous-série de la série
+∞
n=1
a n . Prouver que si toutes les
sous-séries d’une série convergent, la série est alors absolument convergente.
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