Chapitre III. Séries de nombres réels
III.4.18. Prouver que si la suite {na n } et la série
+∞
n=1
n(a n − a n+1 ) convergent,
il en est alors de même de la série
+∞
n=1
a n .
III.4.19. Soit {a n } une suite décroissante tendant vers 0. Étudier la convergence
de la série
+∞
n=1
(−1)
n+1 a 1 + a 2 + . . . + a n
n
.
III.4.20. Déterminer pour quelles valeurs de a la série
+∞
n=1
(−1)
n n! sin a sin
a
2
. . . sin
a
n
converge absolument et pour quelles valeurs elle diverge.
III.4.21. Soit a, b et c trois réels strictement positifs. Étudier la convergence de
la série
+∞
n=1
n
√
a −
n
√
b +
n
√
c
2
.
III.4.22. Étudier la convergence des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
(cos n)
n ,
(b)
+∞
n=1
(sin n)
n .
III.4.23. Soit {a n } une suite strictement positive. Prouver que :
(a) si lim
n→+∞
n
an
a n+1
− 1
> 0, alors
+∞
n=1
(−1)
n a n converge,
(b) si n
an
a n+1
− 1
0, alors
+∞
n=1
(−1)
n a n diverge (en particulier, si
lim
n→+∞
n
an
a n+1
− 1
< 0, alors la série diverge).
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