Énoncés
III.4.13. Pour a, b > 0, étudier la convergence des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
(−1)
n (ln n)
a
n b ,
(b)
+∞
n=1
(−1)
n (ln n)
ln n
n b
.
III.4.14. Soit
+∞
n=1
(−1)
n−1 a n une série alternée vérifiant les conditions de la
règle de Leibniz (2) , autrement dit, 0 < a n+1 a n pour tout n et lim
n→+∞
a n = 0.
On note r n le n-ième reste de la série, r n =
+∞
k=n+1
(−1)
k−1 a k . Montrer que r n est
du même signe que le terme (−1) n a n+1 et |r n | < a n+1 .
III.4.15. Soit {a n } une suite tendant vers 0. Prouver que les séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
(a n + a n+1 )
convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.
III.4.16. Soit {a n } une suite tendant vers 0. Pour a, b, c tels que a + b + c = 0,
prouver que les séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
(aa n + ba n+1 + ca n+2 )
convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.
III.4.17. Soit {a n } une suite à termes non nuls telle que lim
n→+∞
a n = a = 0.
Prouver que soit les séries
+∞
n=1
(a n+1 − a n ) et
+∞
n=1
1
a n+1
−
1
a n
sont toutes les deux absolument convergentes, soit aucune ne converge absolument.
(2) On conserve la terminologie anglophone qui correspond au critère spécial de convergence des
séries alternées. (N.d.T.)
205