Chapitre III. Séries de nombres réels
(c) On prend a n = −
1
n 2 . On a alors
lim
n→+∞
((a 2 + 1)(a 3 + 1) · · · (a n + 1))
= lim
n→+∞
(2 − 1)(2 + 1)
2 2
(3 − 1)(3 + 1)
3 2
· · ·
(n − 1)(n + 1)
n 2
=
1
2
.
D’après le résultat donné en III.1.9, la somme de la série est égale à 1.
III.1.11. Par définition, la suite {a n } croît vers +∞. De plus, on a
a
2
n − 4 = a
2
n−1
a
2
n−1 − 4
et on peut prouver par récurrence que a 2
n − 4 = a 2
1 a 2
2 · · · a 2
n−1
a 2
1 − 4
. Donc,
lim
n→+∞
a n
a 1 a 2 · · · a n−1
=
a 2
1 − 4.
(1)
On note aussi que pour n > 1,
1
a 1 a 2 · · · a n
=
1
2
a n
a 1 a 2 · · · a n−1
−
a n+1
a 1 a 2 · · · a n
.
Donc, d’après (1), la somme de la série est égale à
1
a 1
+
1
2
a 2
a 1
−
1
2
a 2
1 − 4 =
a 1 −
a 2
1 − 4
2
.
III.1.12. On observe que
1
b
=
1!
b − 2
−
2!
(b − 2)b
,
2!
b(b + 1)
=
2!
(b − 2)b
−
3!
(b − 2)b(b + 1)
,
. . .
n!
b(b + 1) · · · (b + n − 1)
=
n!
(b − 2)b(b + 1) · · · (b + n − 2)
−
(n + 1)!
(b − 2)b(b + 1) · · · (b + n − 1)
.
En additionnant membre à membre les égalités ci-dessus, on obtient
S n =
1
b − 2
−
(n + 1)!
(b − 2)b(b + 1) · · · (b + n − 1)
.
Donc, d’après II.5.87, lim
n→+∞
S n =
1
b−2 .
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