Énoncés
III.4.3. On suppose que la série
+∞
n=1
a n , dont tous les termes sont non nuls,
converge. Étudier la convergence de la série
+∞
n=1
1 −
sin a n
a n
.
III.4.4. La condition lim
n→∞
an
bn = 1 implique-t-elle que la convergence de
+∞
n=1
a n
soit équivalente à celle de
+∞
n=1
b n ?
III.4.5. Soit
+∞
n=1
a n une série semi-convergente (1) . On pose p n =
|an|+an
2
et
q n =
|an|−an
2
. Montrer que les deux séries
+∞
n=1
p n et
+∞
n=1
q n divergent.
III.4.6. Soit
+∞
n=1
a n une série semi-convergente. On note {P n } et {Q n } les suites
des sommes partielles des séries
+∞
n=1
p n et
+∞
n=1
q n définies au problème précédent.
Montrer que lim
n→∞
Pn
Qn = 1.
III.4.7. Étudier la convergence simple et la convergence absolue de la série
+∞
n=1
(−1) [
n
3 ]
n
.
III.4.8. Pour a ∈ R, déterminer si la série
+∞
n=1
(−1) [
√
n]
n a
converge absolument, converge simplement ou diverge.
(1) Une série est semi-convergente si elle converge simplement mais pas absolument. (N.d.T.)
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