Chapitre III. Séries de nombres réels
III.3.17. On pose ln 1 x = ln x et ln k x = ln (ln k−1 x) pour k > 1 et x suffisamment grand. Pour n ∈ N ∗ , on note ϕ(n) l’unique entier positif tel que
1 ln ϕ(n) n < e. La série
+∞
n=3
1
n (ln 1 n) (ln 2 n) . . .
ln ϕ(n) n
est-elle convergente ou divergente ?
III.4. Convergence absolue. Théorème de Leibniz
III.4.1. Pour les valeurs données de a, déterminer si les séries sont absolument
convergentes, simplement convergentes ou divergentes :
(a)
+∞
n=1
an
n + 1
n
, a ∈ R,
(b)
+∞
n=2
(−1)
n (ln n)
a
n
, a ∈ R,
(c)
+∞
n=1
(−1)
n
sin
a
n
, a ∈ R,
(d)
+∞
n=1
1
n + 1
a 2 − 4a − 8
a 2 + 6a − 16
n
, a ∈ R \ {−8, 2},
(e)
+∞
n=1
n n
a n 2 , a = 0,
(f)
+∞
n=1
(−1)
n (ln n)
ln n
n a , a > 0.
III.4.2. Pour a ∈ R, étudier la convergence simple et la convergence absolue de
la série
+∞
n=na
a n−1
na n−1 + ln n
,
où n a est un indice dépendant de a tel que na n−1 + ln n = 0 pour n n a .
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