Énoncés
ne soit pas bornée et telle que
−g(x)
f (x)
f (x)
− g
(x) 0
pour x suffisamment grand.
III.3.12. Pour γ 0, étudier la convergence de la série
+∞
n=2
1
(ln n)
(ln n)
γ .
III.3.13. Étudier la convergence de la série
+∞
n=3
1
n
1+
1
ln ln n ln n
.
III.3.14. Soit {λ n } une suite croissante strictement positive et f une fonction
croissante strictement positive vérifiant la condition
+∞
λ 1
1
tf (t)
dt < +∞.
Montrer que
+∞
n=1
1 −
λ n
λ n+1
1
f (λ n )
< +∞.
III.3.15. Prouver la généralisation suivante du test intégral.
Soit {λ n } une suite strictement croissante tendant vers +∞ et f une fonction
définie sur [λ 1 , +∞[, décroissante et strictement positive.
(a) S’il existe M > 0 tel que λ n+1 − λ n M pour tout n ∈ N ∗ et si l’intégrale
impropre
+∞
λ 1
f (t) dt converge, alors la série
+∞
n=1
f (λ n ) converge aussi.
(b) S’il existe M > 0 tel que λ n+1 − λ n M pour tout n ∈ N ∗ et si l’intégrale
impropre
+∞
λ 1
f (t) dt diverge, alors la série
+∞
n=1
f (λ n ) diverge aussi.
III.3.16. Soit f : R ∗
+ −→ R ∗
+ une fonction dérivable de dérivée strictement positive. Prouver que
+∞
n=1
1
f (n) converge si et seulement si
+∞
n=1
f −1 (n)
n 2
converge.
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