Chapitre III. Séries de nombres réels
(a) Prouver que si lim
x→+∞
−g(x)
f (x)
f (x) − g (x)
> 0, alors
+∞
n=1
f (n) converge.
(b) Prouver que si la suite de termes
n
1
1
g(x) dx n’est pas bornée et si
−g(x)
f (x)
f (x) − g (x) 0 pour x suffisamment grand, alors
+∞
n=1
f (n) diverge.
III.3.9. Soit f une fonction définie sur R ∗
+ , strictement positive et continûment
dérivable. Prouver que
(a) si lim
x→+∞
−
xf (x)
f (x)
> 1, alors
+∞
n=1
f (n) converge,
(b) si −
xf (x)
f (x) 1 pour x suffisamment grand, alors
+∞
n=1
f (n) diverge.
III.3.10. Soit f une fonction définie sur R ∗
+ , strictement positive et continûment
dérivable. Prouver que
(a) si lim
x→+∞
−
f (x)
f (x) −
1
x
x ln x > 1, alors
+∞
n=1
f (n) converge,
(b) si
−
f (x)
f (x) −
1
x
x ln x 1 pour x suffisamment grand, alors
+∞
n=1
f (n) diverge.
III.3.11. Prouver la réciproque suivante du théorème énoncé en III.3.8.
Soit f une fonction définie sur R ∗
+ , strictement positive, décroissante et continûment dérivable.
(a) Si
+∞
n=1
f (n) converge, il existe alors une fonction g définie sur R ∗
+ , strictement
positive et continûment dérivable telle que
lim
x→+∞
−g(x)
f (x)
f (x)
− g
(x)
> 0.
(b) Si
+∞
n=1
f (n) diverge, il existe alors une fonction g définie sur R ∗
+ , strictement
positive et continûment dérivable telle que la suite de termes
n
1
1
g(x)
dx (n ∈ N
∗
)
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