Énoncés
III.3.3. Soit f une fonction définie sur [1 , +∞[, positive et décroissante. On
pose
S N =
N
n=1
f (n)
et
I N =
N
1
f (x) dx.
Prouver que la suite {S N − I N } est décroissante et que sa limite appartient à
l’intervalle [0 , f(1)].
III.3.4. Prouver que les limites des suites
(a)
1 +
1
2
+ . . . +
1
n
− ln n,
(b)
1 +
1
2 α + . . . +
1
n α −
n
1
dx
x α , 0 < α < 1,
appartiennent à l’intervalle ]0 , 1[.
III.3.5. Appliquer le test intégral pour étudier la convergence de la série donnée
en III.2.29.
III.3.6. Soit
+∞
n=1
a n une série strictement positive et divergente. On suppose que
S n = a 1 + . . . + a n > 1 pour n 1. Vérifier les affirmations suivantes :
(a)
+∞
n=1
a n+1
S n ln S n
diverge,
(b)
+∞
n=1
a n
S n ln
2 S n
converge.
III.3.7. Soit f une fonction définie sur [1 , +∞[, strictement positive et décroissante. Soit ϕ une fonction strictement croissante, dérivable et telle que ϕ(x) > x
pour x > 1. Prouver que, s’il existe q < 1 tel que
ϕ (x)f (ϕ(x))
f (x)
q pour x suffisamment grand, alors
+∞
n=1
f (n) converge. Prouver aussi que la série diverge si
ϕ (x)f (ϕ(x))
f (x)
1 pour x suffisamment grand.
III.3.8. Soit f, g deux fonctions définies sur R ∗
+ , strictement positives et continûment dérivables. On suppose de plus que f est décroissante.
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