Chapitre III. Séries de nombres réels
(2) Si
+∞
n=1
a n diverge, il existe alors une suite {b n } strictement positive telle que
+∞
n=1
1
bn diverge et
b n
a n
a n+1
− b n+1 0.
III.2.85. Prouver les tests suivants sur la convergence ou la divergence d’une
série positive.
(a) Soit k ∈ N ∗ et {a n } une suite strictement positive telle que lim
n→+∞
a n+k
an = g.
Si g < 1, alors
+∞
n=1
a n converge et si g > 1, alors
+∞
n=1
a n diverge.
(b) Soit k ∈ N ∗ et {a n } une suite strictement positive telle que
lim
n→+∞
n
an
a n+k
− 1
= g. Si g > k, alors
+∞
n=1
a n converge et si g < k, alors
+∞
n=1
a n diverge.
III.2.86. Soit {a n } et {ϕ n } deux suites réelles strictement positives. On suppose que ϕ n = O
1
ln n
. Prouver que la convergence de
+∞
n=2
a n implique celle de
+∞
n=2
a
1−ϕn
n
.
III.3. Le test intégral
III.3.1. Démontrer le test intégral suivant :
Soit f une fonction définie sur [1 , +∞[, positive et décroissante. La série
+∞
n=1
f (n) converge si et seulement si la suite {I n }, I n =
n
1 f (x) dx, est bornée.
III.3.2. Soit f une fonction strictement positive et dérivable sur R ∗
+ telle que
f soit décroissante et tende vers 0 à l’infini. Montrer que les séries
+∞
n=1
f
(n)
et
+∞
n=1
f (n)
f (n)
soit convergent toutes les deux, soit divergent toutes les deux.
198