Énoncés
La série
+∞
n=1
a n dont les termes forment une suite décroissante strictement
positive est convergente si
lim
n→+∞
2 n a 2 n
a n
= g < 1
et divergente si
lim
n→+∞
2 n a 2 n
a n
> 2.
III.2.81. En utilisant le problème III.2.77, prouver les critères donnés
en III.2.31.
III.2.82. Démontrer le test de Kummer . Soit {a n } une suite à valeurs strictement positives.
(1) S’il existe une suite {b n } strictement positive et une constante C > 0 telles
que
b n
a n
a n+1
− b n+1 C pour tout n ∈ N
∗ ,
alors la série
+∞
n=1
a n converge.
(2) S’il existe une suite {b n } strictement positive telle que
+∞
n=1
1
bn diverge et
b n
a n
a n+1
− b n+1 0 pour tout n ∈ N
∗ ,
alors la série
+∞
n=1
a n diverge.
III.2.83. Prouver que les tests du quotient de d’Alembert, de Raabe (III.2.19)
et de Bertrand (III.2.24) sont des cas particuliers du test de Kummer (III.2.82).
III.2.84. Prouver la réciproque du test de Kummer.
Soit {a n } une suite strictement positive.
(1) Si
+∞
n=1
a n converge, il existe alors une suite {b n } strictement positive et une
constante C > 0 telles que
b n
a n
a n+1
− b n+1 C.
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