Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.77. Soit f : N ∗ −→ R ∗
+ une fonction décroissante et ϕ : N ∗ −→ N ∗ une
fonction croissante telle que ϕ(n) > n pour tout n ∈ N ∗ . Vérifier les inégalités
suivantes :
ϕ(n)−1
k=1
f (k) <
ϕ(1)−1
k=1
f (k) +
n−1
k=1
f (ϕ(k))(ϕ(k + 1) − ϕ(k)),
(1)
ϕ(n)
k=ϕ(1)−1
f (k) >
n
k=2
f (ϕ(k))(ϕ(k) − ϕ(k − 1)).
(2)
III.2.78. Prouver que, sous les hypothèses du problème précédent, s’il existe q
tel que l’inégalité
f (ϕ(n))(ϕ(n + 1) − ϕ(n))
f (n)
q < 1
est vérifiée pour tout n ∈ N ∗ , alors
+∞
n=1
f (n) converge. D’autre part, si
f (ϕ(n))(ϕ(n) − ϕ(n − 1))
f (n)
1 pour tout n ∈ N
∗ ,
alors
+∞
n=1
f (n) diverge.
III.2.79. Déduire du problème précédent le test suivant sur la convergence ou
la divergence d’une série positive.
La série
+∞
n=1
a n dont les termes forment une suite décroissante strictement
positive est convergente lorsque
lim
n→+∞
a 2n
a n
= g <
1
2
et divergente lorsque
lim
n→+∞
a 2n
a n
= g >
1
2
.
III.2.80. Déduire du problème III.2.78 le test suivant sur la convergence ou
la divergence d’une série positive (comparer avec le problème III.2.34).
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