Énoncés
III.2.71. Soit {a n } une suite strictement positive et croissante telle que
+∞
n=1
1
an
diverge. Prouver que
+∞
n=2
1
na n − (n − 1)a n−1
diverge aussi.
III.2.72. On note {p n } la suite croissante des nombres premiers. Étudier la
convergence de
+∞
n=1
1
pn .
III.2.73. Étudier la convergence de
+∞
n=2
1
np n − (n − 1)p n−1
où p n est le n-ième nombre premier.
III.2.74. Évaluer
lim
n→+∞
+∞
k=2
1
k n+1
+∞
k=2
1
k n
.
III.2.75. Soit {a n } une suite vérifiant les conditions suivantes :
0 a n 1 pour tout n ∈ N
∗ et a 1 = 0.
On pose
S n = a 1 + . . . + a n et T n = S 1 + . . . + S n .
Déterminer pour quelles valeurs de α > 0 la série
+∞
n=1
an
T α
n
converge.
III.2.76. Soit k ∈ N ∗ et {a n } une suite croissante strictement positive telle que
+∞
n=1
1
an converge. Prouver que les séries
+∞
n=1
ln
k a n
a n
et
+∞
n=1
ln
k n
a n
sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.
195
III.2.71. Soit {a n } une suite strictement positive et croissante telle que
+∞
n=1
1
an
diverge. Prouver que
+∞
n=2
1
na n − (n − 1)a n−1
diverge aussi.
III.2.72. On note {p n } la suite croissante des nombres premiers. Étudier la
convergence de
+∞
n=1
1
pn .
III.2.73. Étudier la convergence de
+∞
n=2
1
np n − (n − 1)p n−1
où p n est le n-ième nombre premier.
III.2.74. Évaluer
lim
n→+∞
+∞
k=2
1
k n+1
+∞
k=2
1
k n
.
III.2.75. Soit {a n } une suite vérifiant les conditions suivantes :
0 a n 1 pour tout n ∈ N
∗ et a 1 = 0.
On pose
S n = a 1 + . . . + a n et T n = S 1 + . . . + S n .
Déterminer pour quelles valeurs de α > 0 la série
+∞
n=1
an
T α
n
converge.
III.2.76. Soit k ∈ N ∗ et {a n } une suite croissante strictement positive telle que
+∞
n=1
1
an converge. Prouver que les séries
+∞
n=1
ln
k a n
a n
et
+∞
n=1
ln
k n
a n
sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.
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