Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.65. En utilisant le problème précédent, prouver que
lim
n→+∞
1 +
1
2 + . . . +
1
n
ln n
= 1.
III.2.66. Soit
+∞
n=1
a n une série convergente à termes strictement positifs. Que
peut-on dire concernant la convergence de
+∞
n=1
a 1 + a 2 + . . . + a n
n
?
III.2.67. Prouver que si {a n } est une suite strictement positive telle que
1
n
n
k=1
a k
2n
k=n+1
a k pour tout n ∈ N ∗ , alors
+∞
n=1
a n 2ea 1 .
III.2.68. Démontrer l’inégalité de Carleman :
Si {a n } est une suite strictement positive telle que la série
+∞
n=1
a n converge,
alors
+∞
n=1
n
√ a 1 . . . a n < e
+∞
n=1
a n .
III.2.69. Prouver que si {a n } est une suite strictement positive, on a alors, pour
tout k ∈ N ∗ ,
+∞
n=1
n
√ a 1 . . . a n
1
k
+∞
n=1
a n
n + k
n
n
.
III.2.70. Soit {a n } une suite strictement positive. Prouver que la convergence
de la série
+∞
n=1
1
an implique celle de la série
+∞
n=1
⎛
⎝ n
2 a n
n
k=1
a k
−2
⎞
⎠ .
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