Énoncés
III.2.60. Soit {a n } une suite décroissante tendant vers 0. Prouver que si la suite
de termes
(a 1 − a n ) + (a 2 − a n ) + . . . + (a n−1 − a n )
est bornée, alors la série
+∞
n=1
a n converge.
III.2.61. Trouver une suite {a n } dont les termes vérifient les conditions suivantes :
a 1 =
1
2
, a n = a n+1 + a n+2 + . . . pour n ∈ N
∗ .
III.2.62. Les termes d’une série convergente
+∞
n=1
a n de somme S vérifient les
deux conditions
a 1 a 2 a 3 . . . et 0 < a n a n+1 + a n+2 + . . . , n ∈ N
∗ .
Montrer qu’il est possible d’écrire tout nombre s ∈ ]0 , S] comme une somme finie
de termes de {a n } ou comme une sous-série (infinie)
+∞
k=1
a n k , où {a n k } est une
sous-suite de {a n }.
III.2.63. Soit
+∞
n=1
a n une série dont les termes strictement positifs forment une
suite décroissante. Prouver que si tout nombre appartenant à ]0 , S[, où S est la
somme de la série, peut s’écrire comme une somme finie de termes de la série
+∞
n=1
a n ou comme une sous-série (infinie)
+∞
k=1
a n k où {a n k } est une sous-suite de
{a n }, alors l’inégalité
a n a n+1 + a n+2 + . . .
est vérifiée pour tout n ∈ N ∗ .
III.2.64. Soit
+∞
n=1
a n une série divergente à termes strictement positifs telle que
lim
n→+∞
an
Sn = 0, où S n = a 1 + a 2 + . . . + a n . Prouver que
lim
n→+∞
a 1 S
−1
1 + a 2 S
−1
2 + . . . + a n S −1
n
ln S n
= 1.
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