Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.54. Soit {a n } une suite strictement positive et décroissante telle que
+∞
n=1
a n
diverge. Montrer que
lim
n→+∞
a 1 + a 3 + . . . + a 2n−1
a 2 + a 4 + . . . + a 2n
= 1.
III.2.55. On pose S k = 1 +
1
2 + . . . +
1
k et on note k n le plus petit des entiers k
positifs pour lesquels S k n. Déterminer
lim
n→+∞
k n+1
k n
.
III.2.56. Soit A l’ensemble des entiers positifs dont l’écriture décimale ne
contient pas le chiffre 0.
(a) Prouver que
n∈A
1
n converge.
(b) Trouver toutes les valeurs de α pour lesquelles
n∈A
1
n α converge.
III.2.57. Soit
+∞
n=1
a n une série à termes strictement positifs. On pose
lim
n→+∞
ln
1
an
ln n
= g ∈ R.
Prouver que la série converge si g > 1 et qu’elle diverge si g < 1.
Donner des exemples montrant que ce critère ne permet pas de conclure dans
le cas où g = 1.
III.2.58. Prouver que le test de Raabe (voir le problème III.2.19) et le test
donné au problème III.2.16 sont équivalents. De plus, prouver que le critère
donné au problème précédent est plus fort que les tests mentionnés ci-dessus.
III.2.59. Étudier la convergence de la série
+∞
n=1
a n dont les termes sont définis
par
a 1 =
√ 2, a n =
2 −
2 +
2 + . . . +
√ 2
n − 1 racines
, n 2.
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