Énoncés
III.2.46. Prouver que pour toute série convergente à termes strictement positifs
+∞
n=1
a n , il existe une suite {c n } croissante et tendant vers +∞ telle que
+∞
n=1
a n c n
converge.
III.2.47. Soit
+∞
n=1
a n une série convergente à termes positifs. On appelle {r n } la
suite de ses restes. Prouver que si
+∞
n=1
r n converge, alors lim
n→+∞
na n = 0.
III.2.48. Soit {a n } une suite strictement positive tendant vers +∞. Que peuton dire concernant la convergence des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
1
a n
n
,
(b)
+∞
n=1
1
a ln n
n
,
(c)
+∞
n=1
1
a ln ln n
n
?
III.2.49. Étudier la convergence de
+∞
n=1
a n pour
a 1 = 1, a n+1 = cos a n , n ∈ N
∗ .
III.2.50. Soit p ∈ R + . Étudier la convergence de
+∞
n=1
a n pour
a 1 = 1, a n+1 = n
−p
sin a n , n ∈ N
∗ .
III.2.51. On note {a n } la suite croissante des racines strictement positives de
l’équation tan x = x. Étudier la convergence de la série
+∞
n=1
1
a 2
n
.
III.2.52. On note {a n } la suite croissante des racines strictement positives de
l’équation tan
√ x = x. Étudier la convergence de la série
+∞
n=1
1
an .
III.2.53. Soit a 1 ∈ R ∗
+ . On pose a n+1 = ln(1 + a n ) pour n ∈ N ∗ . Étudier la
convergence de la série
+∞
n=1
a n .
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