Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.40. Soit {a n } et {b n } deux suites décroissantes tendant vers 0 telles que
les séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
b n divergent. Que peut-on dire sur la convergence de
+∞
n=1
c n
où c n = min {a n , b n } ?
III.2.41. Soit {a n } une suite positive décroissante telle que
+∞
n=1
an
n diverge. On
pose
b n = min
a n ,
1
ln(n + 1)
.
Prouver que
+∞
n=1
bn
n diverge aussi.
III.2.42. Soit {a n } une suite strictement positive, bornée et croissante. Prouver
que
+∞
n=1
1 −
a n
a n+1
converge.
III.2.43. Soit {a n } une suite strictement positive, croissante et tendant
vers +∞. Prouver que
+∞
n=1
1 −
a n
a n+1
diverge.
III.2.44. Soit {a n } une suite strictement positive et croissante. Prouver que
+∞
n=1
a n+1 − a n
a n+1 a α
n
converge pour tout α > 0.
III.2.45. Prouver que pour toute série divergente à termes strictement positifs
+∞
n=1
a n , il existe une suite {c n } décroissante et tendant vers 0 telle que
+∞
n=1
a n c n
diverge.
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