Énoncés
III.2.34. Soit {a n } une suite décroissante strictement positive telle que
2 n a 2 n
a n
g < 1.
Prouver que
+∞
n=1
a n converge.
III.2.35. Soit {a n } une suite décroissante positive. Prouver que si
+∞
n=1
a n
converge, alors lim
n→+∞
na n = 0. Prouver que cette condition n’est pas suffisante
pour que la série converge.
III.2.36. Donner un exemple de série strictement positive et convergente pour
laquelle la condition lim
n→+∞
na n = 0 n’est pas vérifiée.
III.2.37. Soit
+∞
n=1
a n une série convergente à termes strictement positifs. Donner
une condition nécessaire et suffisante à l’existence d’une suite strictement positive
{b n } telle que les deux séries
+∞
n=1
b n
et
+∞
n=1
a n
b n
convergent.
III.2.38. Existe-t-il une suite strictement positive {a n } telle que les deux séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
1
n 2 a n
convergent.
III.2.39. Montrer que
+∞
n=1
1
n
·
1 + a n+1
a n
diverge pour toute suite strictement positive {a n }.
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