Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.29. Étudier la convergence des séries suivantes :
(a)
+∞
n=2
1
n (ln n)
α ,
(b)
+∞
n=3
1
n · ln n · ln ln n
.
III.2.30. Démontrer le théorème de Schlömilch (une généralisation du théorème
de Cauchy donné en III.2.28).
Si {g k } est une suite strictement croissante d’entiers strictement positifs telle
qu’il existe c > 0 vérifiant g k+1 − g k c(g k − g k−1 ) pour tout k ∈ N ∗ et si {a n }
est une suite positive strictement décroissante, alors
+∞
n=1
a n < +∞ si et seulement si
+∞
k=1
(g k+1 − g k )a g k < +∞.
III.2.31. Soit {a n } une suite strictement positive et décroissante. Prouver que
la série
+∞
n=1
a n converge si et seulement si les séries suivantes convergent :
(a)
+∞
n=1
3
n a 3 n ,
(b)
+∞
n=1
na n 2 ,
(c)
+∞
n=1
n
2 a n 3 .
(d) Appliquer les tests précédents à l’étude de la convergence des séries du
problème III.2.17.
III.2.32. Soit {a n } une suite strictement positive. Montrer que
lim
n→+∞
(a n )
1
ln n <
1
e
implique la convergence de la série
+∞
n=1
a n .
III.2.33. Soit {a n } une suite strictement positive. Montrer que
lim
n→+∞
(na n )
1
ln ln n <
1
e
implique la convergence de la série
+∞
n=1
a n .
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