Énoncés
III.2.24. Prouver que si la suite {a n } de réels strictement positifs vérifie
a n+1
a n
= 1 −
1
n
−
γ n
n ln n
où γ n Γ > 1, alors
+∞
n=1
a n converge. De plus, si
a n+1
a n
= 1 −
1
n
−
γ n
n ln n
où γ n Γ < 1, alors
+∞
n=1
a n diverge. (Ce test est appelé test de Bertrand).
III.2.25. Utiliser les tests de Bertrand et de Raabe pour obtenir le critère de
Gauss suivant.
Si {a n } est une suite de réels strictement positifs vérifiant
a n+1
a n
= 1 −
α
n
−
θ n
n λ ,
où λ > 1 et {θ n } est une suite bornée, alors
+∞
n=1
a n converge lorsque α > 1 et
diverge lorsque α 1.
III.2.26. Discuter la convergence de la série
+∞
n=1
α(α + 1) . . . (α + n − 1)
n!
β(β + 1) . . . (β + n − 1)
γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1)
,
α, β et γ étant des réels strictement positifs.
III.2.27. Déterminer pour quelles valeurs de p la série
+∞
n=1
(2n − 1)!!
(2n)!!
p
converge.
III.2.28. Démontrer le test de condensation de Cauchy.
Soit {a n } une suite décroissante de réels positifs. Prouver que la série
+∞
n=1
a n
converge si et seulement si la série
+∞
n=1
2 n a 2 n converge.
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