Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.18. Discuter la convergence de la série
+∞
n=1
a
1+
1
2
+...+
1
n , a > 0.
III.2.19. Utiliser le résultat du problème III.2.16 pour démontrer le test de
Raabe (sous forme d’une limite).
Soit a n > 0 (n ∈ N ∗ ) tels que
lim
n→+∞
n
a n
a n+1
− 1
= r.
Prouver que
+∞
n=1
a n converge si r > 1 et diverge si r < 1.
III.2.20. Soit {a n } la suite récurrente définie par
a 1 = a 2 = 1, a n+1 = a n +
1
n 2 a n−1 pour n 2.
Étudier la convergence de la série
+∞
n=1
1
an .
III.2.21. Soit a 1 et α des réels strictement positifs. On définit la suite récurrente
{a n } en posant
a n+1 = a n e
−a α
n
pour n ∈ N
∗ .
Déterminer pour quelles valeurs de α et β la série
+∞
n=1
a
β
n converge.
III.2.22. Déterminer pour quelles valeurs de a la série
+∞
n=1
n!
(a + 1)(a + 2) . . . (a + n)
converge.
III.2.23. Soit a un réel strictement positif et {b n } une suite strictement positive
convergente vers b. Étudier la convergence de la série
+∞
n=1
n!a n
(a + b 1 )(2a + b 2 ) . . . (na + b n )
.
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III.2.18. Discuter la convergence de la série
+∞
n=1
a
1+
1
2
+...+
1
n , a > 0.
III.2.19. Utiliser le résultat du problème III.2.16 pour démontrer le test de
Raabe (sous forme d’une limite).
Soit a n > 0 (n ∈ N ∗ ) tels que
lim
n→+∞
n
a n
a n+1
− 1
= r.
Prouver que
+∞
n=1
a n converge si r > 1 et diverge si r < 1.
III.2.20. Soit {a n } la suite récurrente définie par
a 1 = a 2 = 1, a n+1 = a n +
1
n 2 a n−1 pour n 2.
Étudier la convergence de la série
+∞
n=1
1
an .
III.2.21. Soit a 1 et α des réels strictement positifs. On définit la suite récurrente
{a n } en posant
a n+1 = a n e
−a α
n
pour n ∈ N
∗ .
Déterminer pour quelles valeurs de α et β la série
+∞
n=1
a
β
n converge.
III.2.22. Déterminer pour quelles valeurs de a la série
+∞
n=1
n!
(a + 1)(a + 2) . . . (a + n)
converge.
III.2.23. Soit a un réel strictement positif et {b n } une suite strictement positive
convergente vers b. Étudier la convergence de la série
+∞
n=1
n!a n
(a + b 1 )(2a + b 2 ) . . . (na + b n )
.
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