Énoncés
III.2.13. Démontrer que si la série à termes strictement positifs
+∞
n=1
a n converge
et si r n =
+∞
k=n+1
a k (n ∈ N ∗ ) représente la suite de ses restes, alors
(a)
+∞
n=2
a n
r n−1
diverge,
(b)
+∞
n=2
a n
√ r n−1
converge.
III.2.14. Prouver que sous les hypothèses du problème précédent, la série
+∞
n=2
a n
r α
n−1
converge si α < 1 et diverge si α 1.
III.2.15. Prouver que sous les hypothèses du problème III.2.13, la série
+∞
n=1
a n+1 ln
2 r n converge.
III.2.16. Soit
+∞
n=1
a n une série à termes strictement positifs. On suppose que
lim
n→+∞
n ln
a n
a n+1
= g ∈ R.
Prouver que
+∞
n=1
a n converge si g > 1 et diverge si g < 1. Montrer que ce test ne
permet pas de conclure si g = 1.
III.2.17. Étudier le comportment des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
1
2
√
n
,
(b)
+∞
n=1
1
2 ln n ,
(c)
+∞
n=1
1
3 ln n ,
(d)
+∞
n=1
1
a ln n , a > 0,
(e)
+∞
n=2
1
a ln ln n , a > 0.
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