Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.9. On suppose que la série à termes positifs
+∞
n=1
a n diverge. Étudier le
comportement des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
a n
1 + a n
,
(b)
+∞
n=1
a n
1 + na n
,
(c)
+∞
n=1
a n
1 + n 2 a n
,
(d)
+∞
n=1
a n
1 + a 2
n
.
III.2.10. On suppose que la série à termes strictement positifs
+∞
n=1
a n diverge.
On note {S n } la suite de ses sommes partielles. Prouver que
+∞
n=1
a n
S n
diverge
et
+∞
n=1
a n
S 2
n
converge.
III.2.11. Prouver que sous les hypothèses du problème précédent, la série
+∞
n=1
a n
S n S
β
n−1
converge pour tout β > 0.
III.2.12. Prouver que sous les hypothèses du problème III.2.10, la série
+∞
n=1
a n
S α
n
converge si α > 1 et diverge si α 1.
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