Énoncés
III.2.4. Déterminer si les séries suivantes convergent :
(a)
+∞
n=1
n n−2
e n n!
,
(b)
+∞
n=1
n n
e n n!
.
III.2.5. Déterminer pour quelles valeurs de α les séries suivantes convergent :
(a)
+∞
n=1
n
√
a − 1
α , a > 1,
(b)
+∞
n=1
n
√
n − 1
α ,
(c)
+∞
n=1
1 +
1
n
n+1
− e
α
,
(d)
+∞
n=1
1 − n sin
1
n
α
.
III.2.6. Prouver que si une série à termes positifs
+∞
n=1
a n converge, alors
+∞
n=1
(a
an
− 1) , où a > 1,
converge aussi.
III.2.7. Étudier le comportement (convergence ou divergence) des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
− ln
cos
1
n
,
(b)
+∞
n=1
e
a ln n+b
c ln n+d , a, b, c, d ∈ R,
(c)
+∞
n=1
n 2n
(n + a)
n+b
(n + b)
n+a
, a, b > 0.
III.2.8. La série à termes positifs
+∞
n=1
a n converge. Prouver que la série
+∞
n=1
√ a n a n+1 converge aussi. Démontrer que la réciproque est fausse. Cependant,
si la suite {a n } est décroissante, alors la proposition réciproque est vraie.
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