Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2. Séries à termes positifs
III.2.1. Déterminer si les séries suivantes convergent ou divergent :
(a)
+∞
n=1
n 2 + 1 −
3
n 3 + 1
,
(b)
+∞
n=1
n 2 + 1
n 2 + n + 1
n 2
,
(c)
+∞
n=2
(2n − 3)!!
(2n − 2)!!
,
(d)
+∞
n=1
n
n + 1
n(n+1)
,
(e)
+∞
n=1
1 − cos
1
n
,
(f)
+∞
n=1
n
√
n − 1
n ,
(g)
+∞
n=1
n
√
a − 1
, a > 1.
III.2.2. Déterminer si les séries suivantes convergent :
(a)
+∞
n=1
1
n
ln
1 +
1
n
,
(b)
+∞
n=2
1
√ n
ln
n + 1
n − 1
,
(c)
+∞
n=1
1
n 2 − ln n
,
(d)
+∞
n=2
1
(ln n)
ln n
,
(e)
+∞
n=2
1
(ln n)
ln ln n
.
III.2.3. Soit
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
b n deux séries à termes strictement positifs vérifiant
a n+1
a n
b n+1
b n
pour n n 0 .
Prouver que si
+∞
n=1
b n converge, alors
+∞
n=1
a n converge aussi.
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