Énoncés
III.1.44. Soit {n k } une suite croissante d’entiers strictement positifs telle que
lim
k→+∞
n k
n 1 n 2 . . . n k−1
= +∞.
Prouver que
+∞
i=1
1
n i
est irrationnel.
III.1.45. Prouver que si {n k } est une suite d’entiers strictement positifs telle
que
lim
k→+∞
n k
n 1 n 2 . . . n k−1
= +∞ et
lim
k→+∞
n k
n k−1
> 1,
alors
+∞
i=1
1
n i
est irrationnel.
III.1.46. Soit {n k } une suite croissante d’entiers strictement positifs telle que
lim
k→+∞
2 k
√ n k = +∞. Prouver que
+∞
k=1
1
n k
est irrationnel.
III.1.47. On considère la série convergente
+∞
n=1
pn
qn , où p n , q n ∈ N ∗ et
p n
q n − 1
−
p n+1
q n+1 − 1
p n
q n
.
On note A l’ensemble des entiers n pour lesquels l’inégalité ci-dessus est stricte.
Prouver que
+∞
n=1
pn
qn est irrationnel si et seulement si l’ensemble A est infini.
III.1.48. Prouver que pour toute suite strictement croissante {n k } d’entiers
strictement positifs la somme de la série
+∞
k=1
2 n k
n k ! est irrationnelle.
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