Chapitre III. Séries de nombres réels
III.1.37. Déterminer la somme de la série
+∞
n=1
(−1)
n ln n
n
.
III.1.38. Trouver
+∞
n=1
n ln
2n + 1
2n − 1
− 1
.
III.1.39. Étant donné un entier k 2, prouver que la série
+∞
n=1
1
(n − 1)k + 1
+
1
(n − 1)k + 2
+ . . . +
1
nk − 1
−
x
nk
ne converge que pour une valeur de x. Trouver cette valeur et la somme de la
série.
III.1.40. Soit {a n } la suite définie par
a 0 = 2, a n+1 = a n +
3 + (−1)
n
2
.
Calculer
+∞
n=0
(−1) [
n+1
2 ] 1
a 2
n − 1
.
III.1.41. Prouver que la somme des séries
(a)
+∞
n=1
1
n!
et
(b)
+∞
n=1
1
(n!)
2
est irrationnelle.
III.1.42. Soit {ε n } une suite dont les termes sont égaux à +1 ou −1. Prouver
que la somme de la série
+∞
n=1
εn
n! est irrationnelle.
III.1.43. Prouver que la somme de la série
+∞
n=1
(−1)
n
(n!)
k
est irrationnelle pour tout entier k strictement positif.
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