Énoncés
III.1.31. Soit {a n } la suite définie par
a 1 = 1, a n+1 =
1
a 1 + a 2 + . . . + a n
−
√ 2 pour n 1.
Déterminer la somme de la série
+∞
n=1
a n .
III.1.32. Trouver la somme des séries suivantes :
(a)
+∞
n=1
(−1)
n−1 1
n
,
(b)
+∞
n=1
(−1)
n−1 2n + 1
n(n + 1)
,
(c)
+∞
n=1
1
x + 2n − 1
+
1
x + 2n
−
1
x + n
, x = −1, −2, . . .
III.1.33. Calculer
+∞
n=1
(−1)
n−1
ln
1 +
1
n
.
III.1.34. Calculer
+∞
n=1
(−1)
n−1
ln
1 −
1
(n + 1)
2
.
III.1.35. Déterminer la somme de la série
+∞
n=1
1
n
− ln
1 +
1
n
.
III.1.36. Soit f une fonction dérivable sur R ∗
+ dont la dérivée est monotone sur
un sous-intervalle ]a , +∞[ et telle que lim
x→+∞
f (x) = 0. Prouver que la limite
lim
n→+∞
1
2
f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (n − 1) +
1
2
f (n) −
n
1
f (x) dx
existe. Étudier aussi le cas particulier des fonctions f (x) =
1
x et f (x) = ln x.
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