Chapitre III. Séries de nombres réels
III.1.25. Soit {a n } une suite strictement positive divergeant vers +∞. Montrer
que
+∞
n=1
Arctan
a n+1 − a n
1 + a n a n+1
= Arctan
1
a 1
.
III.1.26. Prouver que tout réarrangement des termes d’une série à termes positifs ne change pas la valeur de sa somme.
III.1.27. Établir l’égalité
+∞
n=1
1
(2n − 1)
2 =
3
4
+∞
n=1
1
n 2 .
III.1.28. Prouver que
(a)
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
6
,
(b)
+∞
n=1
1
n 4 =
π 4
90
,
(c)
+∞
n=0
(−1)
n
1
2n + 1
=
π
4
.
III.1.29. On définit la suite récurrente {a n } par
a 1 = 2, a n+1 = a
2
n − a n + 1 pour n 1.
Trouver
+∞
n=1
1
an .
III.1.30. On définit la suite {a n } comme suit :
a 1 > 0, a n+1 = ln
e an − 1
a n
pour n 1
et on pose b n = a 1 a 2 . . . a n . Trouver
+∞
n=1
b n .
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