Énoncés
III.1.19. En appliquant l’identité cotan x = 2 cotan(2x) + tan x pour x = k
π
2
(k ∈ Z), prouver que
+∞
n=0
1
2 n tan
x
2 n =
1
x
− 2 cotan(2x).
III.1.20. En utilisant l’identité Arctan x = Arctan(bx) + Arctan
(1−b)x
1+bx 2 , établir
les formules
(a)
+∞
n=0
Arctan
(1 − b)b n x
1 + b 2n+1 x 2 = Arctan x pour 0 < b < 1,
(b)
+∞
n=0
Arctan
(b − 1)b n x
1 + b 2n+1 x 2 = Arccotan x pour x = 0 et b > 1.
III.1.21. Soit {a n } la suite de Fibonacci définie en posant
a 0 = a 1 = 1,
a n+1 = a n + a n−1 (n 1).
On pose S n =
n
k=0
a 2
k . Trouver
+∞
n=0
(−1)
n
S n
.
III.1.22. Pour la suite de Fibonacci {a n } définie au problème précédent, calculer
+∞
n=0
(−1)
n
a n a n+2
.
III.1.23. Pour la suite de Fibonacci {a n } définie en III.1.21, déterminer la
somme de la série
+∞
n=1
Arctan
1
a 2n
.
III.1.24. Trouver les sommes
(a)
+∞
n=1
Arctan
2
n 2 ,
(b)
+∞
n=1
Arctan
1
n 2 + n + 1
,
(c)
+∞
n=1
Arctan
8n
n 4 − 2n 2 + 5
.
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