Chapitre III. Séries de nombres réels
III.1.14. Pour a > 0 et b > a + 2, vérifier la proposition suivante :
+∞
n=1
n
a(a + 1) . . . (a + n − 1)
b(b + 1) . . . (b + n − 1)
=
a(b − 1)
(b − a − 1)(b − a − 2)
.
III.1.15. Soit
+∞
n=1
1
an une série divergente à termes strictement positifs. Pour
b > 0, déterminer la somme
+∞
n=1
a 1 a 2 . . . a n
(a 2 + b)(a 3 + b) . . . (a n+1 + b)
.
III.1.16. Calculer
+∞
n=0
(−1)
n cos 3 3 n x
3 n
.
III.1.17. Étant donné a, b et c non nuls, on considère des fonctions f et g telles
que f (x) = af (bx) + cg(x).
(a) Prouver que si lim
n→+∞
a n f (b n x) = L(x) existe, alors
+∞
n=0
a
n g(b
n x) =
f (x) − L(x)
c
.
(b) Prouver que si lim
n→+∞
a −n f (b −n x) = M (x) existe, alors
+∞
n=0
a
−n g(b
−n x) =
M (x) − af (bx)
c
.
III.1.18. En appliquant l’identité sin x = 3 sin
x
3 − 4 sin
3 x
3 , prouver que
(a)
+∞
n=0
3
n
sin
3 x
3 n+1 =
x − sin x
4
,
(b)
+∞
n=0
1
3 n sin
3
x
3 −n+1 =
3
4
sin
x
3
.
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