Énoncés
III.1.9. Soit {a n } une suite vérifiant
lim
n→+∞
((a 1 + 1)(a 2 + 1) . . . (a n + 1)) = g, 0 < g +∞.
Prouver que
+∞
n=1
a n
(a 1 + 1)(a 2 + 1) . . . (a n + 1)
= 1 −
1
g
(avec la convention
1
∞ = 0).
III.1.10. En utilisant le résultat du problème précédent, trouver la somme des
séries
(a)
+∞
n=1
n − 1
n!
,
(b)
+∞
n=1
2n − 1
2 × 4 × 6 × . . . × 2n
,
(c)
+∞
n=2
1
n 2
1 −
1
2 2
1 −
1
3 2
. . .
1 −
1
n 2
.
III.1.11. Soit {a n } une suite récurrente définie en posant
a 1 > 2, a n+1 = a
2
n − 2 pour n ∈ N
∗ .
Montrer que
+∞
n=1
1
a 1 a 2 . . . a n
=
a 1 −
a 2
1 − 4
2
.
III.1.12. Pour b > 2, vérifier que
+∞
n=1
n!
b(b + 1) . . . (b + n − 1)
=
1
b − 2
.
III.1.13. Pour a > 0 et b > a + 1, établir l’égalité
+∞
n=1
a(a + 1) . . . (a + n − 1)
b(b + 1) . . . (b + n − 1)
=
a
b − a − 1
.
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