Solutions
d’entiers positifs telle que lim
k→+∞
am k
m k
= L. Pour un n ∈ N ∗ fixé, on peut écrire
m k = nl k +r k où r k ∈ {0, 1, . . . , n−1}. Donc, par hypothèse, a m k l k a n +a r k .
D’où,
a m k
m k
l k
nl k + r k
a n +
a r k
m k
.
En faisant tendre k vers +∞, on obtient
L
a n
n
,
(∗)
qui implique
lim
n→+∞
a n
n
lim
n→+∞
a n
n
.
Il en résulte que la suite
an
n
converge.
II.5.77. On peut appliquer une analyse semblable à celle de la solution du
problème précédent.
II.5.78. [20]. Les suites {a n + 1} et {1 − a n } vérifient les hypothèses du problème II.5.76. Donc, lim
n→+∞
an+1
n
et lim
n→+∞
1−an
n
existent et sont finies.
(a) De ce qui précède, puisque lim
n→+∞
an+1
n = g, lim
n→+∞
an
n = g.
(b) L’inégalité se déduit immédiatement de (∗) dans la solution de II.5.76.
II.5.79. On prouve que la suite
an
n
converge vers A = sup
an
n : n ∈ N ∗
.
Soit p un entier strictement positif. On a
a n
n
=
a pln+rn
pl n + r n
a pln
pl n + r n
,
où r n ∈ {0, 1 . . . , p − 1}. Donc, par hypothèse, lim
n→+∞
an
n
ap
p . Ceci implique
alors lim
n→+∞
an
n lim
p→+∞
ap
p . On a donc établi la convergence de la suite
an
n
.
De plus,
amn
mn
an
n implique
A lim
n→+∞
a n
n
lim
p→+∞
a p
p
= inf
p
sup
lp
a l
l
inf
p
sup
m∈N ∗
a pm
pm
inf
p
sup
m
a m
m
= A.
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