Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.80. On montre d’abord que la suite donnée est bornée. En effet, si
1
a a n et a n+1 a, alors
1
a a n+2 =
2
an+a n+1
a. Donc, d’après le principe
de récurrence énoncé dans la solution du problème II.1.10, la suite {a n } est
bornée. On pose
l = lim
n→+∞
a n ,
L= lim
n→+∞
a n .
Soit ε > 0. Il existe n 1 , n 2 ∈ N ∗ tels que
a n < L + ε pour n > n 1 ,
( i )
a n > l − ε pour n > n 2 .
(ii)
D’après (i), a n+2 =
2
an+a n+1
>
1
L+ε pour n > n 1 . Puisque l’on peut choisir
ε > 0 arbitrairement petit, on obtient l
1
L . De la même façon, (ii) implique L
1
l . Et, L =
1
l . Soit {n k } une suite d’entiers positifs telle que
lim
k→+∞
a n k +2 = L. On peut supposer que les suites {a n k +1 }, {a n k } et {a n k −1 }
convergent respectivement vers l 1 , l 2 et l 3 . Si ce n’est pas le cas, on peut choisir
des sous-suites convergentes. Par définition de {a n }, on a
l 1 + l 2 =
2
L
= 2l et l 2 + l 3 =
2
l 1
et, puisque l l 1 , l 2 , l 3 L, on obtient l 1 = l 2 = l et l 2 = l 3 = L, d’où l = L.
Ceci et l’égalité l =
1
L impliquent que la suite {a n } converge vers 1.
II.5.81. Puisque 0 < a 1 b 1 , il existe ϕ ∈
0 ,
π
2
tel que a 1 = b 1 cos ϕ. On
peut alors montrer par récurrence que, pour ϕ = 0,
a n+1 =
b 1 sin ϕ
2 n tan
ϕ
2 n
et b n+1 =
b 1 sin ϕ
2 n sin
ϕ
2 n
, n ∈ N
∗ .
D’où, lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
b n =
b 1 sin ϕ
ϕ . Si ϕ = 0, autrement dit si a 1 = b 1 , les
suites {a n } et {b n } sont constantes.
II.5.82. [18]. Par hypothèse,
a k,n
b k,n
= 1 + ε k,n , ε k,n tendant uniformément
vers 0 par rapport à k. Donc
n
k=1
a k,n =
n
k=1
b k,n +
n
k=1
ε k,n b k,n .
(∗)
Puisque lim
n→+∞
n
k=1
b k,n existe, il existe M > 0 tel que
n
k=1
b k,n
M pour
tout n ∈ N ∗ . De plus, pour tout ε > 0, |ε k,n | <
ε
M pour k = 1, 2, . . . , n
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