Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.74. On remarque que a 2
n = 1 + a n−1 et a 1 = 1. Clairement, la suite
est strictement croissante. On montre par récurrence qu’elle est majorée par
1
2
1 +
√
5
. En effet, si a n−1 <
1
2
1 +
√ 5
, alors a 2
n = 1 + a n−1 <
3
2 +
1
2
√ 5.
Donc, a n <
3
2 +
1
2
√
5 =
1
2 +
1
2
√
5 et {a n } converge vers
1
2
1 +
√ 5
.
II.5.75. [20]. Clairement, la suite {b n } est strictement croissante. Supposons d’abord que α < ln 2. Il existe alors, par hypothèse, n 0 ∈ N ∗ tel que
ln(ln a n ) < n ln 2 si n n 0 ou, de façon équivalente, a n < e 2 n si n n 0 . On a
alors
b n =
a 1 + . . . +
a n 0 + . . . +
√ a n
a 1 + . . . +
a n 0 −1 +
e 2 n 0 + . . . +
√
e 2 n
a 1 + . . . +
a n 0 −1 + e 2 n 0
1 + . . . +
√
1.
D’après le problème précédent,
b n
a 1 + . . . +
a n 0 −1 + e 2 n 0 1 +
√ 5
2
.
Ceci signifie que la suite {b n } est majorée donc convergente.
Supposons maintenant que α > ln 2. Par hypothèse, étant donné ε > 0, il
existe n 0 tel que ln(ln a n ) > n(α + ε) pour n n 0 . En posant α + ε = ln β, on
obtient a n > e β n pour n n 0 avec β > ln 2. Donc,
b n =
a 1 +
a 2 + . . . +
a n 0 + . . . +
√ a n
>
a 1 + . . . +
a n 0 −1 + e
β n
2 n−n 0 +1 > e (
β
2 )
n
.
La suite {b n } diverge dans ce cas vers +∞.
De plus, on remarque que si 0 < a n 1, alors, bien que ln ln a n ne soit pas
défini, la suite {b n } est croissante et majorée par
1+
√ 5
2 , donc convergente.
II.5.76. [20]. Les hypothèses impliquent 0 a n na 1 . La suite
an
n
est
donc bornée. On note L sa limite supérieure. Il existe alors une suite {m k }
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