Solutions
II.5.63. On sait que x −
x 2
2 < ln(1 + x) < x −
x 2
2 +
x 3
3 pour x > 0. On
pose a n =
1 +
1
n
n 2
e −n . On a alors −
1
2 < ln a n < −
1
2 +
1
3n , ce qui implique
lim
n→+∞
ln a n = −
1
2 . La limite de la suite est donc égale à e
−
1
2 .
II.5.64. On a a n+1 − a n > −
1
n 2 > −
1
n(n−1) = −
1
n−1 +
1
n pour n > 1. On pose
b n = a n −
1
n−1 . La suite {b n } est alors croissante et majorée donc convergente.
La suite {a n } converge donc aussi.
II.5.65. Avec l’hypothèse a n+1
2 n
√ 2 a n , on voit que
a n+1 2
−
1
2 n
a n 2
−
1
2 n−1 .
La suite b n = a n 2
−
1
2 n−1 est donc croissante et bornée. Elle converge. Clairement, lim
n→+∞
b n = lim
n→+∞
a n .
II.5.66. Soit a ∈ ]l , L[. Supposons, contrairement à l’énoncé, que a ne soit
pas une valeur d’adhérence de {a n }. Il existe alors un voisinage de a ne contenant qu’un nombre fini de termes de la suite. Soit ε > 0 suffisamment petit
pour que
l < a − ε < a < a + ε < L et a n /
∈ [a − ε , a + ε] pour n > n 1 .
(∗)
Par hypothèse, |a n+1 − a n | < ε pour n > n 2 . D’après II.4.13 (b), on sait
qu’il existe a n k tel que a n k < l + ε < a pour n k > max {n 1 , n 2 }. Donc,
a n k +1 a n k + |a n k +1 − a n k | < a + ε. D’où, d’après (∗), a n k +1 < a − ε. Il
s’ensuit, d’après II.4.12 (a), que L a − ε < L, contradiction.
II.5.67. Soit a ∈ ]l , L[. Supposons, contrairement à l’énoncé, que a ne soit
pas une valeur d’adhérence de {a n }. Il existe alors un voisinage de a ne contenant qu’un nombre fini de termes de la suite. Soit ε > 0 suffisamment petit
pour que
l < a − ε < a < a + ε < L et a n /
∈ [a − ε , a + ε] pour n > n 1 .
(∗)
Par hypothèse,
a n − a n+1 < α n < ε pour n > n 2 .
( ∗∗)
Il découle de II.4.13 (a) qu’il existe a n k tel que a n k > L − ε > a.
D’après (∗∗), on obtient a n k +1 = a n k + (a n k +1 − a n k ) > a − ε. Maintenant,
d’après (∗), a n k +1 > a + ε pour n k > max {n 1 , n 2 }. Donc, d’après II.4.12 (c),
l a + ε > a > l, contradiction.
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